Covid19 – Prognose für Deutschland

Update vom 5. April:

Kaum zu glauben, oder vielleicht falsche Zahlen, weil Wochenende ist? Nur 4.500 Neuinfizierte. Dies entspricht einer Zunahme von nur 5% (Ansteckungsfaktor). Wenn dies stimmt, könnten wir den Wendepunkt der logistischen Wachstumskurve erreicht haben.

Übrigens – Der Bundestag wurde schon 2012 über eine mögliche Pandemie und die Auswirkungen unterrichtet. Lesen Sie ab Seite 55 und ziehen Sie selbst ihre Schlußfolgerungen. 

https://dipbt.bundestag.de/dip21/btd/17/120/1712051.pdf

Forscher der Uni Klinik Marburg haben einen Online-Check entwickelt, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit einer Coronavirus-Erkrankung ermitteln lässt. Menschen mit entsprechenden Symptomen sollen so ihr individuelles Risiko sofort einschätzen können. 

#StayAtHome #SocialDistancing

Berechnung auf Basis 4. April (Annahme S =  180.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 4. April:

Gestern betrug die Zunahme nur 8%. Wir sind auf einem guten Weg, wenn sich dies bestätigt.  Die Fallzahlen verdoppeln sich nur noch alle 7,5 Tage. Deshalb weiter mit

#StayAtHome #SocialDistancing

Die Sättigungsgrenze wurde auf 180.000 erhöht.

Berechnung auf Basis 1. April (Annahme S =  180.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 3. April:

Die tägliche Zunahme erhöht sich weiter um den Faktor 1,09, also rund 9%. Kurzfristig ist dies zuviel. Beobachten wir die nächsten 2-3 Tage.

#StayAtHome #SocialDistancing

In den nächsten Tagen wird sich entscheiden, ob die Kurve sich doch noch linear weiterentwickelt oder wie gewünscht weiter abflacht und sich der Sättigungsgrenze annähert.

Das Thema Lockerung des Shutdowns nimmt immer mehr Fahrt auf.

Berechnung auf Basis 2. April (Annahme S =  160.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 2. April:

6.794 Neuinfizierte! Trotzdem steigt die tägliche Zunahme seit 2 Tagen nur etwa um den Faktor 1,09, also rund 9%. Eine Abnahme von ca. 5% Punkten von den Durchschnittswert der letzten Woche.
Übrigens, die Verdoppelung der Zahlen geschieht jetzt nur noch alle 7 Tage (Vergleich der beiden „Magenta“-Zeilen). Deshalb

#StayAtHome #SocialDistancing

In den nächsten Tagen wird sich entscheiden, ob die Kurve sich doch noch linear weiterentwickelt oder wie gewünscht weiter abflacht und sich der Sättigungsgrenze annähert.

Berechnung auf Basis 1. April (Annahme S =  160.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 1. April:

Sehr, sehr gute Nachrichten. Die Zahl der Neuinfizierten stagniert bzw. geht sogar zurück. Gestern nur knappe 5.000. Die strengen Kontaktsperren, die seit vorletztem Wochenende in Kraft sind, scheinen zu wirken. Wegen der Inkubationszeit von 7-10 Tage sehen wir Ergebnisse immer zeitversetzt. Beobachten wir deshalb die nächsten Tage.

Übrigens, wenn der tägliche Anstieg in den nächsten 7 Tagen die 5.000 jeweils nicht übersteigt, haben wir das Ziel eine „Verdoppelung nur noch in 10 Tagen“ spätestens am 7. April erreicht.

Berechnung auf Basis 31. März (Annahme S =  160.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 31. März:

Den gestrigen Anstieg von fast 7.500 Neuinfizierten kann man negativ oder positiv in Bezug auf die Entwicklung der Zahlenreihe interpretieren. Bleiben wir beim Positiven.

Die Zahlen verdoppeln sich nur noch alle 6 Tage. Wunderbar! Für den Sonntag sind nicht alle Daten gemeldet worden, daher muss man rechnerisch einige von Montag auf Sonntag verschieben.

Die Kurve flacht sich daher weiter ab und wir nähern uns ggf. dem Wendepunkt. Man betrachte dazu die erste und zweite Ableitung der Kurve. Die Geschwindigkeit steigt weiter an, denn sie ist im Wendepunkt am größten. Die Zweite nähert sich der Null. Fazit: Die Funktion f(t) mit der S=160.000 kann die Entwickung der Pandemie unter den derzeitigen Maßnahmen beschreiben. Hinweis: Sättigungsgrenze um 10.000 zu gestern erhöht.

Hoffentlich haben die Politiker auch eine Strategie, wie der Ausstieg aus dem Lockdown vollzogen werden kann. Dieser muß zum einen so schnell wie möglich und schrittweise erfolgen. Die Diskussion über dieses Thema muss jetzt schon beginnen und kann nicht verschoben werden.

https://www.zdf.de/nachrichten/politik/coronavirus-epidemiologe-folgen-helmholtz-100.html

Berechnung auf Basis 30. März (Annahme S =  160.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 30. März:

Die Zahl der Neuinfizierten geht nun schon am dritten Tag zurück. Wermutstropfen ist, dass wegen des Wochenende wahrscheinlich die Daten nicht vollständig sind. Trotzdem ist positiv zu erkennen, dass das lineare Wachstum der Kurve bestätigt wurde.  Wir sind nur noch einige Tage vom Wendepunkt entfernt, wenn die tägliche Zuwachsrate heute nicht über 6.500 und in den nächsten Tagen nicht über 5.500-6.000 steigt.

Berechnung auf Basis 29. März (Annahme S =  150.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 29. März:

An welcher Stelle der Wachstumskurve befinden wir uns? Am Anfang verläuft diese exponentiell, um dann  abzuflachen, einige Zeit nur noch etwa linear zu wachsen und langsam horizontal zur Sättigungsgrenze einzuschwenken.

Sollte wir uns schon auf dem linearen Teil in Richtung Wendepunkt zubewegen? Die Zahlen der letzten 3-4 Tage lassen durchaus diesen Schluß zu. Wenn der tägliche Zuwachs der Infizierten △f(t) in den nächsten 7 Tagen (!) nicht größer als 6000-7000 wird, wäre dies eine Bestätigung und der Wendepunkt ist bei ca. 75000-90000 Infizierten erreicht.

Die Berechnungen auf Grundlage der kompletten Zahlenreihe zeigt einige mathematische Probleme auf. Die Bestimmung der Ausgleichsgeraden zur Lösung der logistischen Wachstumsfunktion (Differentialgleichung) führt aufgrund der sehr starken Schwankung der Einzelwerte zu nicht exakten Ergebnissen. Daher wurde die Berechnung dahingehend geändert, dass nur die letzten 10 gemeldeten Zahlen in die Berechnung eingehen und die Vorhersage daher nur auf den Trend dieser Tage beruht. 

In der Grafik ist der bisherige Verlauf der logistischen Wachstumsfunktion f(t) in rot dargestellt. Die Vorhersagewerte in blau.

Berechnung auf Basis 28. März (Annahme S =  150.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 28. März:

Aus der der bisher vorliegenden Zahlenreihe, der gestrige Wert hat das Wachstum wieder etwas abgeflacht, kann man durchaus schon positive Erkenntnisse ziehen. Am Anfang hat sich die Infiziertenzahl alle 2 Tage verdoppelt, dann alle 3, alle 4 und nun nur noch alle 5 Tage! In der Spalte Q (Infizierte =I) kann man das nachvollziehen.

Der Ansteckungsfaktor von derzeit 1,13 bedeutet, dass sich bis 30.4. etwa 3.5 Mio. Menschen in Deutschland infizieren.

Sollte sich aber die Abflachung der Kurve in der Geschwindigkeit wie oben beschrieben fortsetzen, so sehen wir die nächsten Verdoppelungen in 6 Tagen (2. April) = 100.000, in weiteren 7 Tagen (9.April) = 200.000, in weiteren 8 Tagen (17. April) = 400.000, in weiteren 9 Tagen (26. April) = 800.000, also sicher weniger als 3,5 Mio. am 30. April.

Berechnung auf Basis 27. März (Annahme S =  1.500.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 27. März:

Leider hat sich die positive Entwicklung der letzten Tage nicht fortgesetzt. Der Wachstumsfaktor ist sehr volatil. Heutiger Wert 1,36. Durch dieses sprunghafte Verhalten von Tag zu Tag, lässt sich die Funktion f(t) nur sehr ungenau mit der Zahlenreihe berechnen. Eine Eindämmung der Kurve bei einer 5-stelligen Zahl wie in China wird immer unwahrscheinlicher.

Führen wir den Begriff des „Ansteckungsfaktor“ ein. Dieser wird im Video weiter unter erläutert. Für den Ansteckungsfaktor 1 + E *p, heute hat er den Wert 1,16, wobei gilt I(t+1) = (1 + E * p) * I(t). Was sagt dieser Wert aus?

Wenn die Zahl der Infizierten sich weiterhin täglich mit diesem Ansteckungsfaktor von 1,16 erhöht, so gibt es morgen, bei sagen wir heute I(t) = 43.000 Infizierten, I(t+1) = 1,16 *  I(t) = 49.880, übermorgen I(t+2) = 1,16 * I(t+1) = 57.861, usw. 

In den Spalten S-U des Sheets kann man die Infiziertenzahl zum 30.4., 31.5 und 30.6 ablesen, wenn sich die bisherige Infiziertenzahl des entsprechenden Tages mit dem zugehörigen Ansteckungsfaktor entwickelt hätte bzw. entwicklen wird. Bei einer Einwohnerzahl Deutschlands von ca. 82.000.000 können sich aber nicht mehr als diese infizieren (Sättigungsgrenze).

Man sieht das die bisherige Reduzierung auf 1,16 nicht ausreicht. Selbst dann wären rein mathematisch Ende Mai alle Einwohner Deutschlands infiziert.

Berechnung auf Basis 26. März (Annahme S =  5.000.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 26. März:

Nun schon der 5. Tag mit einer leichten Abflachung der Kurve. Der Wachstumsfaktor wurde gestern leider falsch erläutert und demnach auch falsch berechnet. Mittlerweile aber im Text und im Sheet verbessert! 

Um die mögliche Entwicklung noch besser zu verstehen, wurde deshalb die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(t) hinzugefügt. Die 1. Ableitung einer Funktion f(t) gibt die Geschwindigkeit des Wachstums an. Die Nullstelle der 2. Ableitung den Wendepunkt der Funktion f(t). Wenn der Wendepunkt erreicht wird, kann man die Sättigungsgrenze S bestimmen. Diese wäre dann 2 x f(t) mit f’’(t)=0. 

Zu Beachten ist weiterhin, dass die Zahlen die Situation vor 7-10 Tagen (Inkubationszeit, Warten auf die Ergebnisse) beschrieben. Anderseits sieht man, dass die ersten größeren Einschränkungen vorletztes Wochenende zu #SocialDistancing wirken.

Für die heutige Berechnung wurden die Sättigungsgrenze auf 100.000 gesetzt. Dies heißt nicht, das hier tatsächlich eine Sättigungsgrenze erreicht. Erst wenn die 2. Ableitung verlässlich eine Nullstelle bildet, kann man diese annähernd vorhersagen.

Berechnung auf Basis 25. März (Annahme S =  100.000): Covid19 – Prognose für D

Update vom 25. März :

Die Zahlenreihe bestätigt nun schon am 4. Tag hintereinander ein „Abflachen“ der Kurve. Die Zahl der Infizierten verdoppelt sich scheinbar „nur noch“ alle 5 Tage, im Gegensatz zum Anfang der Zahlenreihe – Verdoppelung alle 2-3 Tage.

Zu Beachten ist, dass die Zahlen die Situation vor 7-10 Tagen (Inkubationszeit, Warten auf die Ergebnisse) beschrieben. Anderseits sieht man, dass die ersten größeren Einschränkungen vorletztes Wochenende zu #SocialDistancing wirken.

Für die heutige Berechnung wurde die Sättigungsgrenze auf 60.000 gesetzt. Dies heißt nicht, das hier tatsächlich eine Sättigungsgrenze vorhanden ist. Erst wenn der Wachstumsfaktor (Differenz der Infiziertenzahl am Tag t und Tag t-1 geteilt durch die Differenz am Tag t-1 und Tag t-2) konstant einen Wert <1 erreicht hat, kann man eine verlässlichere Aussage treffen.

Berechnung auf Basis 24. März (Annahme S =  60.000) : Covid19 – Prognose für D

Update vom 24. März :

Ja, die Kurve flacht ab. Gute Nachrichten!

Für die heutige Berechnung wurde für Sättigungsgrenze willkürlich auf 100.000 gesetzt.

Berechnung auf Basis 23. März (Annahme S =  100.000): covid19 – prognose für D

Update vom 23. März :

Ein wenig Mathe muss sein. Da es auf der Welt kein unbegrenztes exponentielles Wachstum gibt, haben wir die Berechnungsformel auf ein logistisches Wachstum umgestellt. Eine logistische Funktion stellt ein Wachstum dar, welches exponentiell ansteigt und durch wachtumshemmende Faktoren zu einer Sättigung führt. Bei den bisher kommunizierten Infektionszahlen besteht für die beiden Modelle kein großer Unterschied. Wir stehen am Anfang der Wachstumskurve und sind von einer Sättigungsgrenze S gegebenenfalls noch (weit) entfernt. Aufgrund der Grenzschließungen und Reisebeschränkungen kann aber die Anzahl der Infizierten nicht größer als die Einwohnerzahl von Deutschland werden. Höchstwahrscheinlich liegt die Sättigungsgrenze der zu bestimmenden logistischen Funktion sehr deutlich darunter, zumal die implementierten Maßnahmen zu greifen beginnen und somit die Verbreitung des Virus einschränken.

Bevor wir in die  Mathematik einsteigen, einige Bemerkungen. Die Berechnungen basieren ausschließlich in der Aufgabenstellung, die Zahlenreihe der Infizierten, die über die Johns Hopkins University täglich zur Verfügung gestellt wird, so in eine Funktion f(t) darzustellen, dass für die zukünftigen Tage eine Fortschreibung der Zahlenreihe bestimmt werden kann.

Die allgemeine logistische Wachstumsfunktion können Sie in einer Veröffentlichung von Dieter Heidorn nachlesen (Formel vor Abschnitt 2.)

Die Werte m und b der Geradengleichung y = mt + b werden durch die Minimierung der Fehlerquadratsumme ermittelt. Die dazu notwendigen Rechenschritte sind in diesem Artikel dargestellt.

Die Werte m und t dieser Ausgleichsgeraden ändern sich täglich, da jeden Tag eine neue Zahl der Infizierten bekannt ist. Demzufolge ändert sich auch die logistische Wachstumsformel täglich. Die Sättigungsgrenze S muß in diesem Verfahren so festgelegt werden, dass die Ergebnisse der logistischen Wachstumsfunktion mit den Werten t,0 bis t,heute mit den tatsächlichen Werten in etwa übereinstimmt.

Immer auf Basis der letzten Formel werden für t,heute+1, t,heute+2 usw. die Zahlen für die zukünftigen Tage bestimmt.

Berechnung auf Basis 22. März (Annahme S =  500.000): Covid19 – Prognose für D

Update 22. März:

Die Kurve flacht ab. Gute Nachrichten. Warten wir die nächsten 2-3 Tage ab, ob dies durch eine weitere Reduzierung der Infiziertenzahl bestätigt wird. Deshalb weiter

#StayAtHome #SocialDistancing

Wir werden die Berechnungen heute oder morgen von einem exponentiellen auf ein logistisches Wachstum umstellen.

Berechnung für den 21. März: Covid19 – Prognose für D

Die Hoffnung wäre, das sich die Fallzahl nicht über 26.000 ansteigt.

Update 21. März:

Der gestrige Anstieg war enorm. Bitte sofort eine  #Ausgangssperre. Aus eigener Beobachtung stehen viele Menschen den bisherigen Regeln gleichgültig gegenüber. Kein Abstand beim Einkaufen, Chillen am Mainufer, Verlegung des Spielplatzes auf die Straße.

#StayAtHome #SocialDistancing

Mit den neuen Daten errechnet sich für heute eine Infiziertenzahl von 26.005.

Berechnung für den 20. März: Covid19 – Prognose für D

Update 20. März:

Gibt es Hoffnung? Die Kurve flacht sich etwas ab. Bitte weiter so ! #StayAtHome #SocialDistancing
Mit den neuen Daten errechnet sich für heute eine Infiziertenzahl von 20.085.

Berechnung für den 19. März: Covid19 – Prognose für D

Update 19. März:

Der Anstieg der Fallzahlen mit dem Faktor 1,3 pro Tag geht weiter. Wenn man von einer durchschnittlichen Inkubationszeit von 7 Tagen ausgeht, kann man unterstellen, dass die Maßnahmen – Untersagen von Veranstaltungen über 1000 Menschen, Unterbrechung der Infektionsketten – nicht zum Erfolg geführt haben. Hoffentlich wirken die neuen seit vorgestern implementierten Maßnahmen! Mit den neuen Daten errechnet sich für heute eine Infiziertenzahl von 16.212.

Berechnung für den 18. März: Covid19 – Prognose für D

Update 18. März (2):

1.) Wir haben deutlich mehr Infizierte, als die Tests feststellen: https://www.researchsquare.com/article/rs-17453/v1

2.) Wir müssen das Wachstum durch „suppression“ umkehren. Dazu sind einschneidende Maßnahmen notwendig, die zudem Monate andauern: https://www.imperial.ac.uk/media/imperial-college/medicine/sph/ide/gida-fellowships/Imperial-College-COVID19-NPI-modelling-16-03-2020.pdf

Update 18. März:

Die Abweichung der aktuellen Zahl der Infizierten von der nach der Funktion f(16) erwarteten Zahl ist sehr gering. 9360 vs. 9577. Bleibt unbedingt zu Hause und schränkt die Kontakte bis auf die wirklich notwendigen ein! Mit den neuen Daten errechnet sich für heute eine Infiziertenzahl von 12.309.

Berechnung für den 17. März: Covid19 – Prognose für D

Der Anstieg der durch #covid19 Infizierten ist rasant. Mathematisch kann man versuchen, die Entwicklung über die allgemeine Exponentialfunktion f(t) = C * a^t zu bestimmen. Dazu benötigen wir 2 Punkte auf der Kurve, denn 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten lassen sich immer auflösen. Wir greifen zur Berechnung auf folgende Daten zurück:

https://interaktiv.morgenpost.de/corona-virus-karte-infektionen-deutschland-weltweit/

Im Modell bestimmen wir die Entwicklung über die Anzahl zum Tag 1.März und jeweils der letzten bekannten Infektionszahl.

Beispielrechnung:

Für den 16. März wären dies

f(1) = C * a^1 = 117
f(16) = C * a^16 = 7227

Auf die Rechenschritte zur Bestimmung des Startwertes  C und der Wachstumskonstante a wird hier verzichtet. Im Modell werden dann die berechneten Unbekannten C und a (gelbe Zeile) dazu genutzt, für die weiteren Tage, hier f(17), f(18), … eine Entwicklung der Infiziertenzahl vorherzusagen. Auch geschieht eine Rückrechnung für die Vergangenheit mit den aktuellen Parametern für  C und  a.

Das Ergebnis für den Zeitraum vom 1. bis 16. März zeigt, dass die theoretischen Werte der Funktion mit den jeweils aktuellen Werten annähernd übereinstimmen. Sollte die Zahl der Infizierten weiterhin mit dieser Funktion wachsen, werden um den 18. April über 60.000.000 (Millionen !) in D infiziert sein. Es ist zu hoffen, dass die Massnahmen zur Eindämmung den rasanten Anstieg der Kurve mindern.

Das Modell wird jeden Tag mit den aktuellen Zahlen überarbeitet.

Berechnung für den 16. März: Covid19 – Prognose für D